函数的周期性

函数的周期性 定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

周期函数的定义若存在一个不为零的常数 TTT，使得对于定义域内的任意 xxx，恒有 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)，则称 f(x)f(x)f(x) 为周期函数，TTT 称为它的一个周期。

周期函数的周期个数有多少个？如果 TTT 是周期，那么对任意正整数 nnn，nTnTnT 也是周期。

证明：

设 TTT 是 f(x)f(x)f(x) 的周期，即对任意 xxx，有 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)。

对于 2T2T2T：

f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x)f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)对于 3T3T3T：

f(x+3T)=f((x+2T)+T)=f(x+2T)=f(x)f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = f(x)f(x+3T)=f((x+2T)+T)=f(x+2T)=f(x)一般地，对于 nTnTnT（nnn 为正整数）：

f(x+nT)=f(x+(n−1)T+T)=f(x+(n−1)T)=⋯=f(x)f(x + nT) = f(x + (n-1)T + T) = f(x + (n-1)T) = \cdots = f(x)f(x+nT)=f(x+(n−1)T+T)=f(x+(n−1)T)=⋯=f(x)因此，如果 TTT 是周期，那么 2T2T2T、3T3T3T、4T4T4T、…\ldots…、nTnTnT（nnn 为正整数）都是周期。这说明周期函数的周期有无限多个。

周期可以是负数吗？是的，如果 TTT 是周期，那么 −T-T−T 也是周期。

证明：

设 TTT 是 f(x)f(x)f(x) 的周期，即对任意 xxx，有 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)。

对于 −T-T−T，我们需要证明 f(x−T)=f(x)f(x - T) = f(x)f(x−T)=f(x)。

令 y=x−Ty = x - Ty=x−T，则 x=y+Tx = y + Tx=y+T。由于 TTT 是周期，有：

f(y+T)=f(y)f(y + T) = f(y)f(y+T)=f(y)将 y=x−Ty = x - Ty=x−T 代入，得到：

f((x−T)+T)=f(x−T)f((x - T) + T) = f(x - T)f((x−T)+T)=f(x−T)即：

f(x)=f(x−T)f(x) = f(x - T)f(x)=f(x−T)因此，f(x−T)=f(x)f(x - T) = f(x)f(x−T)=f(x)，这说明 −T-T−T 也是周期。

结论：如果 TTT 是周期，那么 −T-T−T 也是周期。

以正弦函数 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 为例，从图像上可以看出，函数值每隔 2π2\pi2π 就会重复出现：

即 sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin xsin(x+2π)=sinx 对所有 xxx 成立。

最小正周期从上面的讨论我们知道，如果 TTT 是周期函数的周期，那么 nTnTnT（nnn 为整数）都是周期。这意味着周期函数的周期有无限多个，既有正周期，也有负周期。

为了研究的方便，我们通常关注最小正周期。

数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

最小正周期的定义对于周期函数 f(x)f(x)f(x)，如果存在一个正数 T0T_0T0​，使得：

T0T_0T0​ 是 f(x)f(x)f(x) 的周期任何小于 T0T_0T0​ 的正数都不是 f(x)f(x)f(x) 的周期那么 T0T_0T0​ 称为 f(x)f(x)f(x) 的最小正周期（fundamental period）。

最小正周期的意义：

最小正周期是描述函数重复性的最基本信息知道了最小正周期，就可以推导出所有周期（nT0nT_0nT0​，nnn 为整数） 最小正周期是唯一的吗？是的，如果周期函数存在最小正周期，那么它是唯一的。

证明（反证法）：

假设周期函数 f(x)f(x)f(x) 有两个不同的最小正周期 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​，且 T1≠T2T_1 \neq T_2T1​=T2​。

根据最小正周期的定义：

T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 都是 f(x)f(x)f(x) 的周期任何小于 T1T_1T1​ 的正数都不是周期任何小于 T2T_2T2​ 的正数都不是周期考虑 T1−T2T_1 - T_2T1​−T2​（假设 T1>T2T_1 > T_2T1​>T2​）：

由于 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 都是周期，那么：

f(x+T1)=f(x)f(x + T_1) = f(x)f(x+T1​)=f(x)f(x+T2)=f(x)f(x + T_2) = f(x)f(x+T2​)=f(x)但 T1−T20T_1 - T_2 > 0T1​−T2​>0，那么 T1−T2T_1 - T_2T1​−T2​ 也应该是一个周期（因为 f(x+(T1−T2))=f((x+T1)−T2)=f(x+T1)=f(x)f(x + (T_1 - T_2)) = f((x + T_1) - T_2) = f(x + T_1) = f(x)f(x+(T1​−T2​))=f((x+T1​)−T2​)=f(x+T1​)=f(x)），这与 T1T_1T1​ 是最小正周期矛盾。

因此，假设不成立，最小正周期是唯一的（如果存在）。

结论：如果周期函数存在最小正周期，那么它是唯一的。

常数函数是周期函数吗？是的，常数函数是周期函数。

证明：

设常数函数 f(x)=cf(x) = cf(x)=c（ccc 为常数）。

对于任意正数 TTT，对任意 xxx，有：

f(x+T)=c=f(x)f(x + T) = c = f(x)f(x+T)=c=f(x)因此，任意正数 TTT 都是常数函数 f(x)=cf(x) = cf(x)=c 的周期。

结论：常数函数是周期函数，且任意正数都是它的周期。

常数函数的最小正周期是什么？常数函数没有最小正周期。

分析：

设常数函数 f(x)=cf(x) = cf(x)=c。

从前一个问题我们知道，任意正数 TTT 都是常数函数的周期。

但是，对于任意给定的正数 T0T_0T0​，总存在更小的正数 T1

因此，不存在一个最小的正数满足”任何小于它的正数都不是周期”这个条件。

结论：常数函数没有最小正周期。这说明不是所有周期函数都有最小正周期。

常见周期函数 观察这些函数的图像，它们的最小正周期是什么？sin⁡x\sin xsinx、cos⁡x\cos xcosx：最小正周期为 2π2\pi2πtan⁡x\tan xtanx、cot⁡x\cot xcotx：最小正周期为 π\piπsin⁡2x\sin^2 xsin2x、cos⁡2x\cos^2 xcos2x：最小正周期为 π\piπ 重要性质周期函数具有一些重要的性质，这些性质在判断函数的周期性以及求解周期函数的周期时非常有用。

历史背景：这些重要性质是数学家们在长期的数学研究和实践中逐步总结和证明的。它们源于对三角函数、波动现象等实际问题的深入研究，经过严格的数学证明后成为了周期函数理论的重要组成部分。我们普通人想不到这些性质是正常的。

周期函数的运算性质性质：如果 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 都是周期函数，周期分别为 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​，那么：

和函数 f(x)+g(x)f(x) + g(x)f(x)+g(x) 是周期函数差函数 f(x)−g(x)f(x) - g(x)f(x)−g(x) 是周期函数积函数 f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)f(x)⋅g(x) 是周期函数商函数 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​（当 g(x)≠0g(x) \neq 0g(x)=0 时）是周期函数例子：

sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos xsinx+cosx：由于 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx 的周期都是 2π2\pi2π，因此 sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos xsinx+cosx 的周期为 2π2\pi2πsin⁡x+sin⁡(2x)\sin x + \sin(2x)sinx+sin(2x)：sin⁡x\sin xsinx 的周期为 2π2\pi2π，sin⁡(2x)\sin(2x)sin(2x) 的周期为 π\piπ，它们的最小公倍数是 2π2\pi2π，因此 sin⁡x+sin⁡(2x)\sin x + \sin(2x)sinx+sin(2x) 的周期为 2π2\pi2π 你能证明周期函数的和、差、积、商仍然是周期函数吗？证明思路：

设 TTT 是 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 的公倍数（如果存在），则 TTT 是 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 的公共周期。

（1）和函数的证明：

对于和函数 h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x)h(x)=f(x)+g(x)：

h(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=h(x)h(x + T) = f(x + T) + g(x + T) = f(x) + g(x) = h(x)h(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=h(x)因此，h(x)h(x)h(x) 是周期函数，周期为 TTT。

（2）差函数、积函数、商函数的证明：

类似地，可以验证：

差函数：f(x+T)−g(x+T)=f(x)−g(x)f(x + T) - g(x + T) = f(x) - g(x)f(x+T)−g(x+T)=f(x)−g(x)积函数：f(x+T)⋅g(x+T)=f(x)⋅g(x)f(x + T) \cdot g(x + T) = f(x) \cdot g(x)f(x+T)⋅g(x+T)=f(x)⋅g(x)商函数（当 g(x)≠0g(x) \neq 0g(x)=0 时）：f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)\frac{f(x + T)}{g(x + T)} = \frac{f(x)}{g(x)}g(x+T)f(x+T)​=g(x)f(x)​注意：f(x)+g(x)f(x) + g(x)f(x)+g(x) 的周期不一定是 T1T_1T1​ 或 T2T_2T2​，而是 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 的最小公倍数（如果存在）。如果 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 不可公度（即它们的比是无理数），则 f(x)+g(x)f(x) + g(x)f(x)+g(x) 可能没有最小正周期。

周期函数的复合性质性质：如果 f(x)f(x)f(x) 是周期函数，周期为 TTT，那么 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) 的周期性取决于内层函数 g(x)g(x)g(x) 的性质。

情况 1：如果 g(x)g(x)g(x) 是线性函数 g(x)=kx+bg(x) = kx + bg(x)=kx+b（k≠0k \neq 0k=0），则 f(g(x))=f(kx+b)f(g(x)) = f(kx + b)f(g(x))=f(kx+b) 也是周期函数，周期为 T∣k∣\frac{T}{|k|}∣k∣T​。

情况 2：如果 g(x)g(x)g(x) 本身是周期函数，周期为 TgT_gTg​，那么 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) 的周期通常是 TTT 和 TgT_gTg​ 的最小公倍数（如果存在）。

例子：

f(x)=sin⁡(3x)f(x) = \sin(3x)f(x)=sin(3x)：sin⁡x\sin xsinx 的周期为 2π2\pi2π，因此 sin⁡(3x)\sin(3x)sin(3x) 的周期为 2π3\frac{2\pi}{3}32π​f(x)=cos⁡(x+π4)f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4})f(x)=cos(x+4π​)：cos⁡x\cos xcosx 的周期为 2π2\pi2π，因此 cos⁡(x+π4)\cos(x + \frac{\pi}{4})cos(x+4π​) 的周期为 2π2\pi2π（平移不改变周期） 你能证明周期函数的复合函数的周期性吗？情况 1：g(x)=kx+bg(x) = kx + bg(x)=kx+b（线性函数）的证明

由于 f(x)f(x)f(x) 的周期为 TTT，即 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x) 对所有 xxx 成立。

对于 f(kx+b)f(kx + b)f(kx+b)，需要找到 T′T'T′ 使得 f(k(x+T′)+b)=f(kx+b)f(k(x + T') + b) = f(kx + b)f(k(x+T′)+b)=f(kx+b)。

设 y=kx+by = kx + by=kx+b，则 f(k(x+T′)+b)=f(kx+b+kT′)=f(y+kT′)f(k(x + T') + b) = f(kx + b + kT') = f(y + kT')f(k(x+T′)+b)=f(kx+b+kT′)=f(y+kT′)。

要使 f(y+kT′)=f(y)f(y + kT') = f(y)f(y+kT′)=f(y)，需要 kT′=TkT' = TkT′=T（或 kT′kT'kT′ 是 TTT 的整数倍）。

因此，T′=T∣k∣T' = \frac{T}{|k|}T′=∣k∣T​ 是 f(kx+b)f(kx + b)f(kx+b) 的一个周期。

情况 2：g(x)g(x)g(x) 也是周期函数的说明

如果 g(x)g(x)g(x) 本身是周期函数，周期为 TgT_gTg​，那么 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) 的周期通常是 TTT 和 TgT_gTg​ 的最小公倍数（如果存在）。这是因为需要同时满足 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x) 和 g(x+Tg)=g(x)g(x + T_g) = g(x)g(x+Tg​)=g(x)。

周期函数的积分性质提示：这部分内容涉及积分（定积分）的知识。如果你还没有学习过积分，可以暂时跳过这部分内容。我们会在积分相关的文档中再次详细讲解周期函数的积分性质及其应用。

性质：如果 f(x)f(x)f(x) 是周期函数，周期为 TTT，且在区间 [a,a+T][a, a + T][a,a+T] 上可积，则 f(x)f(x)f(x) 在任意一个周期内的积分都相等。

数学表达：

对任意 a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R，有：

R\mathbb{R}R（双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格，用于区分集合符号和普通变量。

∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx∫aa+T​f(x)dx=∫0T​f(x)dx意义：这个性质说明，周期函数在任意一个周期内的积分值都相同。这在计算周期函数的平均值、功率等物理量时非常有用。

例子：

对于 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx，周期为 2π2\pi2π，有： ∫aa+2πsin⁡xdx=∫02πsin⁡xdx=0\int_a^{a+2\pi} \sin x dx = \int_0^{2\pi} \sin x dx = 0∫aa+2π​sinxdx=∫02π​sinxdx=0 对任意 aaa 都成立。 你能证明周期函数在任意一个周期内的积分都相等吗？证明：

由于 f(x)f(x)f(x) 的周期为 TTT，即 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)。

设 u=x−Tu = x - Tu=x−T，则 x=u+Tx = u + Tx=u+T，dx=dudx = dudx=du。

当 xxx 从 aaa 变到 a+Ta + Ta+T 时，uuu 从 a−Ta - Ta−T 变到 aaa。

∫aa+Tf(x)dx=∫a−Taf(u+T)du=∫a−Taf(u)du\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_{a-T}^a f(u + T) du = \int_{a-T}^a f(u) du∫aa+T​f(x)dx=∫a−Ta​f(u+T)du=∫a−Ta​f(u)du继续换元，设 v=u+Tv = u + Tv=u+T，则：

∫a−Taf(u)du=∫0Tf(v)dv=∫0Tf(x)dx\int_{a-T}^a f(u) du = \int_0^T f(v) dv = \int_0^T f(x) dx∫a−Ta​f(u)du=∫0T​f(v)dv=∫0T​f(x)dx因此，对任意 aaa，都有：

∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx∫aa+T​f(x)dx=∫0T​f(x)dx关键思路：利用周期函数的性质 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)，通过换元法将积分区间转移到 [0,T][0, T][0,T]。

判断方法判断一个函数是否为周期函数，以及求其周期，需要掌握不同的判断方法。下面通过几个例子来学习这些方法。

例 1判断函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx 是否为周期函数，如果是，求其周期。

分析：

根据周期函数的定义，需要找到一个不为零的常数 TTT，使得对定义域内的任意 xxx，都有 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)。

即需要找到 T≠0T \neq 0T=0，使得 sin⁡(x+T)=sin⁡x\sin(x + T) = \sin xsin(x+T)=sinx 对所有 xxx 成立。

基于正弦函数的定义（在单位圆上，角度的正弦值等于该角度对应的点的纵坐标），我们知道：角度 xxx 和角度 x+2πx + 2\pix+2π 在单位圆上对应同一个点（因为旋转 2π2\pi2π 后回到原位置），因此它们的正弦值相等，即 sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin xsin(x+2π)=sinx。

验证：设 T=2πT = 2\piT=2π，对任意 xxx，有：

f(x+2π)=sin⁡(x+2π)=sin⁡x=f(x)f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) = \sin x = f(x)f(x+2π)=sin(x+2π)=sinx=f(x)且 2π≠02\pi \neq 02π=0，因此 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx 是周期函数，2π2\pi2π 是它的一个周期。

方法总结：这种方法叫做定义法，即直接利用周期函数的定义进行判断。通过解方程 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x) 或直接验证，确定是否存在这样的 TTT。

例 2通过观察函数图像，判断正弦函数 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 和正切函数 y=tan⁡xy = \tan xy=tanx 的周期。

分析：

观察正弦函数 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 的图像：

从图像可以看出，函数值呈波浪形变化，每隔 2π2\pi2π 重复一次相同的模式。因此，正弦函数的周期为 2π2\pi2π。

观察正切函数 y=tan⁡xy = \tan xy=tanx 的图像：

从图像可以看出，函数值呈周期性跳跃，每隔 π\piπ 重复一次相同的模式。因此，正切函数的周期为 π\piπ。

方法总结：这种方法叫做图像法，即通过观察函数图像是否具有重复性来判断周期性。图像法直观、形象，有助于理解周期性的几何意义，但需要准确绘制或识别图像。

例 3求下列函数的周期：

f(x)=sin⁡(3x)f(x) = \sin(3x)f(x)=sin(3x)f(x)=tan⁡(x2)f(x) = \tan(\frac{x}{2})f(x)=tan(2x​)f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos xf(x)=sinx+cosx分析：

（1）f(x)=sin⁡(3x)f(x) = \sin(3x)f(x)=sin(3x)

已知 sin⁡x\sin xsinx 的周期为 2π2\pi2π，对于 sin⁡(kx)\sin(kx)sin(kx)（k≠0k \neq 0k=0），周期为 2π∣k∣\frac{2\pi}{|k|}∣k∣2π​。

因此，sin⁡(3x)\sin(3x)sin(3x) 的周期为 2π3\frac{2\pi}{3}32π​。

（2）f(x)=tan⁡(x2)f(x) = \tan(\frac{x}{2})f(x)=tan(2x​)

已知 tan⁡x\tan xtanx 的周期为 π\piπ，对于 tan⁡(kx)\tan(kx)tan(kx)（k≠0k \neq 0k=0），周期为 π∣k∣\frac{\pi}{|k|}∣k∣π​。

因此，tan⁡(x2)\tan(\frac{x}{2})tan(2x​) 的周期为 π12=2π\frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi21​π​=2π。

（3）f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos xf(x)=sinx+cosx

sin⁡x\sin xsinx 的周期为 2π2\pi2π，cos⁡x\cos xcosx 的周期也为 2π2\pi2π。

对于两个周期函数的和，如果它们的周期分别为 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​，则和的周期是 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 的最小公倍数（如果存在）。

由于 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx 的周期都是 2π2\pi2π，因此 sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos xsinx+cosx 的周期为 2π2\pi2π。

方法总结：这种方法叫做公式法，即利用已知的周期函数及其性质进行判断。常用的规律有：

sin⁡(kx)\sin(kx)sin(kx)、cos⁡(kx)\cos(kx)cos(kx)（k≠0k \neq 0k=0）：周期为 2π∣k∣\frac{2\pi}{|k|}∣k∣2π​tan⁡(kx)\tan(kx)tan(kx)、cot⁡(kx)\cot(kx)cot(kx)（k≠0k \neq 0k=0）：周期为 π∣k∣\frac{\pi}{|k|}∣k∣π​对于 f(kx+b)f(kx + b)f(kx+b)（k≠0k \neq 0k=0），如果 f(x)f(x)f(x) 的周期为 TTT，则 f(kx+b)f(kx + b)f(kx+b) 的周期为 T∣k∣\frac{T}{|k|}∣k∣T​如果 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 都是周期函数，周期分别为 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​，则 f(x)+g(x)f(x) + g(x)f(x)+g(x)、f(x)−g(x)f(x) - g(x)f(x)−g(x) 的周期是 T1T_1T1​ 和 T2T_2T2​ 的最小公倍数（如果存在）公式法快速、准确，适用于常见的周期函数。

发散思维1. 自然界中的周期现象周期现象在自然界中随处可见，这些现象可以用周期函数来描述：

天体运动：

昼夜交替：地球自转导致昼夜循环，周期约为 24 小时月相变化：月球绕地球运动的周期约为 29.5 天四季更替：地球公转导致季节变化，周期为 1 年（约 365.25 天）生物节律：

生物钟：许多生物体内的生理活动具有 24 小时的周期（昼夜节律）睡眠周期：人类的睡眠-觉醒周期、植物的开花时间等都有一定的周期性波动现象：

水波：水面上的波浪运动具有明显的周期性声波：声音的传播是周期性振动，频率决定了音调的高低数学建模：

这些自然现象可以用三角函数来描述，例如：

昼夜温度变化可以用 T(t)=Asin⁡(ωt+ϕ)+BT(t) = A\sin(\omega t + \phi) + BT(t)=Asin(ωt+ϕ)+B 来近似（其中 AAA 是振幅，ω\omegaω 是角频率，周期为 2πω\frac{2\pi}{\omega}ω2π​）月相变化可以用正弦或余弦函数来建模理解周期函数的性质，有助于我们更好地认识和预测这些自然现象。

ω\omegaω（omega）：希腊字母，读作”欧米伽”，在数学和物理中常用来表示角频率或角速度。

ϕ\phiϕ（phi）：希腊字母，读作”费”或”菲”，在数学中常用来表示相位角或角度。

练习题练习 1求函数 f(x)=sin⁡(3x)+cos⁡(2x)f(x) = \sin(3x) + \cos(2x)f(x)=sin(3x)+cos(2x) 的周期。

参考答案 (3 个标签)周期函数 和函数的周期 最小公倍数解题思路： 需要分别求出 sin⁡(3x)\sin(3x)sin(3x) 和 cos⁡(2x)\cos(2x)cos(2x) 的周期，然后求它们的最小公倍数。

详细步骤：

sin⁡(3x)\sin(3x)sin(3x) 的周期：T1=2π3T_1 = \frac{2\pi}{3}T1​=32π​cos⁡(2x)\cos(2x)cos(2x) 的周期：T2=2π2=πT_2 = \frac{2\pi}{2} = \piT2​=22π​=π求最小公倍数： 2π3=2π3\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}32π​=32π​，π=3π3\pi = \frac{3\pi}{3}π=33π​ 最小公倍数为 2π2\pi2π答案：该函数的周期为 2π2\pi2π。

练习 2判断函数 f(x)=sin⁡2x+cos⁡2xf(x) = \sin^2 x + \cos^2 xf(x)=sin2x+cos2x 是否为周期函数，如果是，求其周期。

参考答案 (3 个标签)周期函数 三角恒等式 常函数解题思路： 利用三角恒等式简化函数表达式。

详细步骤：

利用恒等式：sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1sin2x+cos2x=1因此 f(x)=1f(x) = 1f(x)=1，这是一个常函数常函数是周期函数，任意非零实数都是其周期最小正周期不存在（因为任意小的正数都是周期）答案：该函数是周期函数，但不存在最小正周期。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义π\piπ希腊字母Pi（派）圆周率，用于表示周期函数的周期（如 2π2\pi2π、π\piπ）R\mathbb{R}R数学符号双线体 R（Real numbers）表示实数集ω\omegaω希腊字母Omega（欧米伽）表示角频率ϕ\phiϕ希腊字母Phi（费/菲）表示相位角或角度中英对照中文术语英文术语音标说明周期函数periodic function/pɪəriˈɒdɪk ˈfʌŋkʃən/存在非零常数 TTT，使得 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x) 对所有 xxx 成立的函数周期period/ˈpɪəriəd/函数值重复出现的最小间隔最小正周期fundamental period/ˈfʌndəmentl ˈpɪəriəd/周期函数的最小正周期，如果存在，则唯一定义域domain/dəʊˈmeɪn/自变量的取值范围值域range/reɪndʒ/函数值的取值范围运算性质operational property/ɒpəˈreɪʃənl ˈprɒpəti/周期函数经过四则运算后仍为周期函数的性质复合性质composition property/kɒmpəˈzɪʃən ˈprɒpəti/周期函数复合后的周期性规律积分性质integral property/ˈɪntɪɡrəl ˈprɒpəti/周期函数在任意周期内积分相等的性质定义法definition method/defɪˈnɪʃən ˈmeθəd/直接利用周期函数定义进行判断的方法图像法graphical method/ˈɡræfɪkəl ˈmeθəd/通过观察函数图像判断周期性的方法公式法formula method/ˈfɔːmjələ ˈmeθəd/利用已知周期函数性质进行判断的方法 上一章节 函数的单调性下一章节 函数的奇偶性 课程路线图1高等数学之函数探秘

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